電流I0 - xlogI125’s blog

正確な内容は電気回路論や交流理論などの教科書を参照してください

集中定数回路で単一周波数の定常状態のみを考慮

定常状態の基本波のみを考慮する
$\Large \begin{align*} i(x,t) &= f(x)g(t) \\ &= kg(t) \\ &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos\left(n \omega_{\mathrm{e}1} t \right) + b_n \sin\left(n \omega_{\mathrm{e}1} t \right) \right) \\ &= I_0 + \sum_{n=1}^\infty \sqrt{2} I_n \sin \left( n \omega_{\mathrm{e}1} t + \varphi_{\mathrm{e}n} \right) \\ &= \sqrt{2} I_1 \sin \left( \omega_{\mathrm{e}1} t + \varphi_{\mathrm{e}1} \right) \end{align*}$

電気回路の計算式での取り扱いが便利になるよう重ね合わせる
$\Large \begin{align*} I(t) &= \left( A + \mathrm{j} B \right) i(t) + \left( C + \mathrm{j} D \right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}i(t) \\ &= \sqrt{2} I_1 \left(\cos \left( \omega_{\mathrm{e}1} t + \varphi_{\mathrm{e}1} \right) + \mathrm{j}\sin \left( \omega_{\mathrm{e}1} t + \varphi_{\mathrm{e}1} \right) \right) \\ &= \sqrt{2} I_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_{\mathrm{e}1}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega_{\mathrm{e}1} t} \end{align*}$

フェーザ表示

三相回路における電流をフェーザ表示で考えることにする
$\Large \begin{align*} \dot{I}_{\mathrm{a}} &= I_{\mathrm{a}} \left( \cos \varphi_\mathrm{a} + \mathrm{j} \sin \varphi_\mathrm{a} \right) \\ &= I_{\mathrm{a}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \varphi_\mathrm{a} } \end{align*}$

ベクトルオペレータ
$\Large \begin{equation*} a = \mathrm{e}^{\left(2\pi/3\right)\mathrm{j}} \end{equation*}$

三相3線式における各相の電流が変数I0, I1, I2の重ね合わせで表現できるとする
$\Large \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \dot{I}_{\mathrm{a}} &= &{} &\dot{I}_{\mathrm{0}} &{} &+ &{} &\dot{I}_{\mathrm{1}} &{} &+ &{} &\dot{I}_{\mathrm{2}} \\ % \dot{I}_{\mathrm{b}} &= &{} &\dot{I}_{\mathrm{0}} &{} &+ &a^{-1} &\dot{I}_{\mathrm{1}} &{} &+ &a &\dot{I}_{\mathrm{2}} \\ % \dot{I}_{\mathrm{c}} &= &{} &\dot{I}_{\mathrm{0}} &{} &+ &a^{-2} &\dot{I}_{\mathrm{1}} &{} &+ &a^2 &\dot{I}_{\mathrm{2}} \end{aligned} \right. \end{equation*}$

指数部分を書き直す
$\Large \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \dot{I}_{\mathrm{a}} &= &{} &\dot{I}_{\mathrm{0}} &{} &+ &{} &\dot{I}_{\mathrm{1}} &{} &+ &{} &\dot{I}_{\mathrm{2}} \\ % \dot{I}_{\mathrm{b}} &= &{} &\dot{I}_{\mathrm{0}} &{} &+ &a^{2} &\dot{I}_{\mathrm{1}} &{} &+ &a &\dot{I}_{\mathrm{2}} \\ % \dot{I}_{\mathrm{c}} &= &{} &\dot{I}_{\mathrm{0}} &{} &+ &a &\dot{I}_{\mathrm{1}} &{} &+ &a^2 &\dot{I}_{\mathrm{2}} \end{aligned} \right. \end{equation*}$

教科書などで登場する行列表記
$\Large \begin{equation*} \begin{pmatrix} \dot{I}_{\mathrm{a}} \\ \dot{I}_{\mathrm{b}} \\ \dot{I}_{\mathrm{c}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{I}_{\mathrm{0}} \\ \dot{I}_{\mathrm{1}} \\ \dot{I}_{\mathrm{2}} \end{pmatrix} \end{equation*}$

変数I0, I1, I2
$\Large \begin{equation*} \begin{pmatrix} \dot{I}_{\mathrm{0}} \\ \dot{I}_{\mathrm{1}} \\ \dot{I}_{\mathrm{2}} \end{pmatrix} = \cfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{I}_{\mathrm{a}} \\ \dot{I}_{\mathrm{b}} \\ \dot{I}_{\mathrm{c}} \end{pmatrix} \end{equation*}$

変数I0
$\Large \begin{align*} I_{\mathrm{0}} &= \frac{1}{3} \lvert \dot{I}_{\mathrm{a}} + \dot{I}_{\mathrm{b}} + \dot{I}_{\mathrm{c}} \rvert \\ &= \frac{1}{3} \lvert \dot{i}_{\mathrm{a}} + \dot{i}_{\mathrm{b}} + \dot{i}_{\mathrm{c}} \rvert I_{3\phi\mathrm{BASE}} \\ &= i_{\mathrm{0}} \frac{S_{3\phi\mathrm{BASE}}}{3 E_{3\phi\mathrm{BASE}}} \end{align*}$

変圧器(Y結線)の中性点に流れ込む電流Ig
$\Large \begin{align*} I_{\mathrm{g}} &= \lvert \dot{I}_{\mathrm{a}} + \dot{I}_{\mathrm{b}} + \dot{I}_{\mathrm{c}} \rvert \\ &= 3 I_0 \end{align*}$