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電圧降下と短絡電流の計算式

電気

正確な内容は電力工学の教科書を参照してください。

電圧降下の式 (電流-抵抗)

オーム法

凡例

\Large \mathrm{j} 虚数単位
\Large \mathrm{e} 自然対数の底
\Large E_{\mathrm{soa}} 送電側の中性点oに対する送電端a相の電圧(実効値)
\Large V_{\mathrm{rca}} 受電端c相に対する受電端a相の電圧(実効値)
\Large I_{\mathrm{ra}} 受電端a相の電流(実効値)
\Large Z_{\mathrm{la}} 線路lにおけるa相のインピーダンス
\Large R 抵抗
\Large X リアクタンス(誘導性を正の値)
\Large \phi 位相(電圧)
\Large \varphi 位相(電流)
\Large \cos\theta 力率

a相における線路laと負荷raの電圧降下
\Large\displaystyle \newcommand{\pEsoa}{{\dot{E}_\mathrm{soa}}} \newcommand{\pEroa}{{\dot{E}_\mathrm{roa}}} \newcommand{\pIra}{{\dot{I}_\mathrm{ra}}} \newcommand{\pZla}{{\dot{Z}_\mathrm{la}}} \newcommand{\pZra}{{\dot{Z}_\mathrm{ra}}} \newcommand{\Eroa}{{E_\mathrm{roa}}} \begin{align*} \pEsoa &= \pZla \pIra + \pEroa \\ \pZra &= \cfrac{\pEroa}{\pIra} \end{align*}

表記を変更する
\Large\displaystyle \newcommand{\re}{\mathrm{e}} \newcommand{\rj}{\mathrm{j}} \newcommand{\Esoa}{{E_\mathrm{soa}}} \newcommand{\Eroa}{{E_\mathrm{roa}}} \newcommand{\Zra}{{Z_\mathrm{ra}}} \newcommand{\Rla}{{R_\mathrm{la}}} \newcommand{\Xla}{{X_\mathrm{la}}} \newcommand{\Ira}{{I_\mathrm{ra}}} \newcommand{\argEsoa}{{\phi_{\mathrm{soa}}}} \newcommand{\argEroa}{{\phi_{\mathrm{roa}}}} \newcommand{\argIra}{{\varphi_{\mathrm{ra}}}} \newcommand{\argZroa}{{\theta_{\mathrm{roa}}}} \begin{align*} \Esoa \re^{\rj \argEsoa} &= \left( \Rla + \rj\Xla \right) \Ira \re^{\rj \argIra} + \Eroa \re^{\rj \argEroa} \\ \Zra \re^{\rj \argZroa} &= \cfrac{\Eroa}{\Ira} \re^{\rj \left( \argEroa - \argIra \right)} \end{align*}

絶対値を求める
\Large\displaystyle \newcommand{\re}{\mathrm{e}} \newcommand{\rj}{\mathrm{j}} \newcommand{\Esoa}{{E_\mathrm{soa}}} \newcommand{\Eroa}{{E_\mathrm{roa}}} \newcommand{\Ira}{{I_\mathrm{ra}}} \newcommand{\Rla}{{R_\mathrm{la}}} \newcommand{\Xla}{{X_\mathrm{la}}} \newcommand{\argEsoa}{{\phi_{\mathrm{soa}}}} \newcommand{\argEroa}{{\phi_{\mathrm{roa}}}} \newcommand{\argIra}{{\varphi_{\mathrm{ra}}}} \newcommand{\argZroa}{{\theta_{\mathrm{roa}}}} \begin{align*} \left\lvert \Esoa \re^{\rj \left( \argEsoa - \argEroa \right)} \right\rvert = \left\lvert \left( \Rla + \rj\Xla \right) \Ira \re^{-\rj \argZroa} + \Eroa \right\rvert \end{align*}

式変形する
\Large\displaystyle \newcommand{\rj}{\mathrm{j}} \newcommand{\Esoa}{{E_\mathrm{soa}}} \newcommand{\Eroa}{{E_\mathrm{roa}}} \newcommand{\Ira}{{I_\mathrm{ra}}} \newcommand{\Rla}{{R_\mathrm{la}}} \newcommand{\Xla}{{X_\mathrm{la}}} \newcommand{\argZroa}{{\theta_{\mathrm{roa}}}} \begin{align*} \left\lvert \Esoa \right\rvert &= \left\lvert A + \rj B \right\rvert \\ A &= \left( \Rla\cos\argZroa + \Xla\sin\argZroa \right) \Ira + \Eroa \\ B &= \left( \Xla\cos\argZroa - \Rla\sin\argZroa \right) \Ira \end{align*}

細かいことは気にせず絶対値記号を外して近似する。

電圧降下の式
\Large\displaystyle \newcommand{\Esoa}{{E_\mathrm{soa}}} \newcommand{\Eroa}{{E_\mathrm{roa}}} \newcommand{\Vsca}{{V_\mathrm{sca}}} \newcommand{\Vrca}{{V_\mathrm{rca}}} \newcommand{\Ira}{{I_\mathrm{ra}}} \newcommand{\Rla}{{R_\mathrm{la}}} \newcommand{\Xla}{{X_\mathrm{la}}} \newcommand{\argZroa}{{\theta_{\mathrm{roa}}}} \begin{align*} \Vsca &= \sqrt{3} \left( \Rla\cos\argZroa + \Xla\sin\argZroa \right)\Ira + \Vrca \\ \Vsca &= \sqrt{3} \Esoa \\ \Vrca &= \sqrt{3} \Eroa \end{align*}

単位法

ところで、以下のような関係式があるとする。

凡例

\Large S_\mathrm{3\phi BASE} 基準容量(三相回路)
\Large E_\mathrm{LoBASE} 基準電圧。三相変圧器のタップ電圧/√3。タップ電圧は送電側と受電側で同じ値とする。
\Large I_\mathrm{LoBASE} 基準電流

皮相電力の関係式(基準容量)
\Large\displaystyle \newcommand{\StpBASE}{{S_\mathrm{3\phi BASE}}} \newcommand{\EexBASE}{{E_\mathrm{ExBASE}}} \newcommand{\EhiBASE}{{E_\mathrm{HiBASE}}} \newcommand{\EloBASE}{{E_\mathrm{LoBASE}}} \newcommand{\IexBASE}{{I_\mathrm{ExBASE}}} \newcommand{\IhiBASE}{{I_\mathrm{HiBASE}}} \newcommand{\IloBASE}{{I_\mathrm{LoBASE}}} \begin{align*} \StpBASE &= 3 \EexBASE \IexBASE \\ &= 3 \EhiBASE \IhiBASE \\ &=3 \EloBASE \IloBASE \end{align*}

電圧降下の式における記号の添え字を変更する。式の両辺を基準電圧で割る。
\Large\displaystyle \newcommand{\Eslo}{{E_\mathrm{sLo}}} \newcommand{\Erlo}{{E_\mathrm{rLo}}} \newcommand{\EloBASE}{{E_\mathrm{LoBASE}}} \newcommand{\Irlo}{{I_\mathrm{rLo}}} \newcommand{\Rllo}{{R_\mathrm{lLo}}} \newcommand{\Xllo}{{X_\mathrm{lLo}}} \newcommand{\argZrlo}{{\theta_{\mathrm{rLo}}}} \begin{align*} \cfrac{\sqrt{3}\Eslo}{\EloBASE} = \cfrac{\sqrt{3} \left( \Rllo\cos\argZrlo + \Xllo\sin\argZrlo \right)\Irlo + \sqrt{3}\Erlo}{\EloBASE} \\ \end{align*}

実務ではインピーダンスの値しか分からないことが多いので、とりあえず電圧降下の式を次のように考える。
\Large\displaystyle \newcommand{\StpBASE}{{S_\mathrm{3\phi BASE}}} \newcommand{\Eslo}{{E_\mathrm{sLo}}} \newcommand{\Erlo}{{E_\mathrm{rLo}}} \newcommand{\EloBASE}{{E_\mathrm{LoBASE}}} \newcommand{\VloBASE}{{V_\mathrm{LoBASE}}} \newcommand{\Irlo}{{I_\mathrm{rLo}}} \newcommand{\IloBASE}{{I_\mathrm{LoBASE}}} \newcommand{\Zllo}{{Z_\mathrm{lLo}}} \newcommand{\zllo}{{z_\mathrm{lLo}}} \begin{align*} \cfrac{\Eslo}{\EloBASE} &= \cfrac{\Zllo \Irlo + \Erlo}{\EloBASE} \\ &= \cfrac{\Zllo \IloBASE}{\EloBASE} \times \cfrac{\Irlo}{\IloBASE} + \cfrac{\Erlo}{\EloBASE} \\ &= \cfrac{\Zllo\left( 3 \EloBASE \IloBASE \right)}{\left( \sqrt{3} \EloBASE \right)^2} \times \cfrac{\Irlo}{\IloBASE} + \cfrac{\Erlo}{\EloBASE} \\ &= \cfrac{\Zllo \StpBASE}{\VloBASE^2} \times \cfrac{\Irlo}{\IloBASE} + \cfrac{\Erlo}{\EloBASE} \\ &= \zllo \cfrac{\Irlo}{\IloBASE} + \cfrac{\Erlo}{\EloBASE} \end{align*}

例として三相二巻線変圧器が、直列につながっている回路を考える。
\Large\displaystyle \newcommand{\Eshi}{{E_\mathrm{sHi}}} \newcommand{\Erhi}{{E_\mathrm{rHi}}} \newcommand{\Eslo}{{E_\mathrm{sLo}}} \newcommand{\Erlo}{{E_\mathrm{rLo}}} \newcommand{\Irhi}{{I_\mathrm{rHi}}} \newcommand{\Irlo}{{I_\mathrm{rLo}}} \newcommand{\EhiBASE}{{E_\mathrm{HiBASE}}} \newcommand{\EloBASE}{{E_\mathrm{LoBASE}}} \newcommand{\IhiBASE}{{I_\mathrm{HiBASE}}} \newcommand{\IloBASE}{{I_\mathrm{LoBASE}}} \newcommand{\zlhi}{{z_\mathrm{lHi}}} \newcommand{\zllo}{{z_\mathrm{lLo}}} \begin{align*} \cfrac{\Eshi}{\EhiBASE} &= \zlhi\cfrac{\Irhi}{\IhiBASE} + \cfrac{\Erhi}{\EhiBASE} \\ &= \zlhi\cfrac{\Irhi}{\IhiBASE} + \cfrac{\Eslo}{\EloBASE} \\ &= \zlhi\cfrac{\Irhi}{\IhiBASE} + \zllo\cfrac{\Irlo}{\IloBASE} + \cfrac{\Erlo}{\EloBASE} \end{align*}

三相二巻線変圧器の1次側と2次側において有効電力と無効電力は同じはずである。
\Large\displaystyle \newcommand{\StpBASE}{{S_\mathrm{3\phi BASE}}} \newcommand{\pErhi}{{\dot{E}_\mathrm{rHi}}} \newcommand{\pEslo}{{\dot{E}_\mathrm{sLo}}} \newcommand{\pcIrhi}{{\bar{\dot{I}}_\mathrm{rHi}}} \newcommand{\pcIslo}{{\bar{\dot{I}}_\mathrm{sLo}}} \begin{align*} \cfrac{3\pErhi\pcIrhi}{\StpBASE} = \cfrac{3\pEslo\pcIslo}{\StpBASE} \end{align*}

基準容量は回路全体で同じである。
\Large\displaystyle \newcommand{\pErhi}{{\dot{E}_\mathrm{rHi}}} \newcommand{\pEslo}{{\dot{E}_\mathrm{sLo}}} \newcommand{\EhiBASE}{{E_\mathrm{HiBASE}}} \newcommand{\EloBASE}{{E_\mathrm{LoBASE}}} \newcommand{\pcIrhi}{{\bar{\dot{I}}_\mathrm{rHi}}} \newcommand{\pcIslo}{{\bar{\dot{I}}_\mathrm{sLo}}} \newcommand{\IhiBASE}{{I_\mathrm{HiBASE}}} \newcommand{\IloBASE}{{I_\mathrm{LoBASE}}} \begin{align*} \cfrac{3\pErhi\pcIrhi}{3\EhiBASE\IhiBASE} = \cfrac{3\pEslo\pcIslo}{3\EloBASE\IloBASE} \end{align*}

絶対値を求める。
\Large\displaystyle \newcommand{\Irhi}{{I_\mathrm{rHi}}} \newcommand{\Islo}{{I_\mathrm{sLo}}} \newcommand{\IhiBASE}{{I_\mathrm{HiBASE}}} \newcommand{\IloBASE}{{I_\mathrm{LoBASE}}} \begin{align*} \cfrac{\Irhi}{\IhiBASE} = \cfrac{\Islo}{\IloBASE} \end{align*}

送電端と受電端の電流は同じ。
\Large\displaystyle \newcommand{\Irhi}{{I_\mathrm{rHi}}} \newcommand{\Islo}{{I_\mathrm{sLo}}} \newcommand{\Irlo}{{I_\mathrm{rLo}}} \newcommand{\IhiBASE}{{I_\mathrm{HiBASE}}} \newcommand{\IloBASE}{{I_\mathrm{LoBASE}}} \begin{align*} \cfrac{\Irhi}{\IhiBASE} = \cfrac{\Islo}{\IloBASE} = \cfrac{\Irlo}{\EloBASE} \end{align*}

電圧降下の式
\Large\displaystyle \newcommand{\Eshi}{{E_\mathrm{sHi}}} \newcommand{\Erlo}{{E_\mathrm{rLo}}} \newcommand{\Irhi}{{I_\mathrm{rHi}}} \newcommand{\Irlo}{{I_\mathrm{rLo}}} \newcommand{\EhiBASE}{{E_\mathrm{HiBASE}}} \newcommand{\EloBASE}{{E_\mathrm{LoBASE}}} \newcommand{\IhiBASE}{{I_\mathrm{HiBASE}}} \newcommand{\IloBASE}{{I_\mathrm{LoBASE}}} \newcommand{\zlhi}{{z_\mathrm{lHi}}} \newcommand{\zllo}{{z_\mathrm{lLo}}} \begin{align*} \cfrac{\Eshi}{\EhiBASE} &= \zlhi\cfrac{\Irhi}{\IhiBASE} + \zllo\cfrac{\Irlo}{\IloBASE} + \cfrac{\Erlo}{\EloBASE} \\ &= \left( \zlhi + \zllo \right) \cfrac{\Irlo}{\IloBASE} + \cfrac{\Erlo}{\EloBASE} \end{align*}

短絡電流の計算式
\Large\displaystyle \newcommand{\Eshi}{{E_\mathrm{sHi}}} \newcommand{\Erlo}{{E_\mathrm{rLo}}} \newcommand{\EhiBASE}{{E_\mathrm{HiBASE}}} \newcommand{\Irlo}{{I_\mathrm{rLo}}} \newcommand{\IloBASE}{{I_\mathrm{LoBASE}}} \newcommand{\zlhi}{{z_\mathrm{lHi}}} \newcommand{\zllo}{{z_\mathrm{lLo}}} \begin{align*} \Eshi &= \EhiBASE \\ \Erlo &= 0 \\ \Irlo &= \cfrac{\IloBASE}{\zlhi+\zllo} \end{align*}